Research Council, 2001a) recognized the difficulties of the number line representation for young children and recommended that its use begin at Grade 2 and not earlier. The number line is particularly important when one wants to show parts of one whole, such as one-half. In early childhood materials, the term number line or mental number line often really means a number path, such as in the common early childhood games in which numbers are put on squares and children move along a numbered path. Such number paths are count models—each square is an object that can be counted—so these are appropriate for children from age 2 through Grade 1. Some research summarized in Chapter 3 did focus on children’s and adult’s use of the analog magnitude system to estimate large quantities or to say where specified larger numbers fell along a number line. Again, it is not clear, especially for children, whether they are using a mental number list or a number line; the crucial research issue is the change in the spacing of the numbers with age, and this could come either from children’s use of a mental number list or a number line. The use of number lines, such as in a ruler or a bar graph scale, is an important part of measurement and is discussed in Chapter 6. But for numbers, relations, and operations, physical and mental number word lists are the appropriate model. Variability in Children’s Solution Methods The focus of this chapter is on how children follow a learning path from age 2 to Grade 1 in learning important aspects of numbers, relations, and operations. We continually emphasize that there is variability within each age group in the numbers and concepts with which a given child can work. As summarized in Chapter 3, much of this variability stems from differences in opportunities to learn and to practice these competencies, and we stress how important it is to provide such opportunities to learn for all children. We close with a reminder that there is also variability within a given individual at a given time in the strategies the child will use for a given kind of task. Researchers through the years have shown that children’s strategy use is marked by variability both within and across children (e.g., Siegler, 1988; Siegler and Jenkins, 1989; Siegler and Shrager, 1984). Even on the same problem, a child might use one strategy at one point in the session, and another strategy at another point. As children gain proficiency, they gradually move to more mature and efficient strategies, rather than doing so all at once. The variability itself is thought to be an important engine of cognitive change. Similarly, as discussed above, accuracy can vary with effort, particularly with counting. The variability in the use of strategies within or across children can provide important opportunities to discuss different methods and extend understandings of all participants. The vari-

Research Council, 2001a) erkände svårigheterna med nummerraden representation för små barn och rekommenderade att användningen började kl Betyg 2 och inte tidigare. Siffran är särskilt viktig när man vill visa delar av en helhet, till exempel hälften. I tidiga barndomsmaterial, termen nummerserie eller mental nummerserie betyder ofta verkligen en nummerväg, sådan som i de vanliga tidiga barndoms spelen där antalet sätts på rutor och barn rör sig längs en numrerad väg. Sådana nummervägar är räkna modeller - varje kvadrat är ett objekt som kan räknas - så de är lämplig för barn från 2 till 1 år. En del undersökningar som sammanfattas i kapitel 3 fokuserade på barns och vuxnas användning av analogen storlekssystem för att uppskatta stora kvantiteter eller för att säga där specificerat större siffror föll längs en siffra. Återigen är det inte klart, särskilt för barn, oavsett om de använder en mentalnummerlista eller en nummerserie; de avgörande forskningsfråga är förändringen i avståndet mellan siffrorna och åldern, och detta kan komma antingen från barns användning av en lista med mentala nummer eller en sifferrad. Användning av talrader, till exempel i en linjal eller ett stapeldiagram skala är en viktig del av mätningen och diskuteras i kapitel 6. Men för siffror, relationer och operationer, fysiskt och mentalt antal ordlistor är lämplig modell.Variabilitet i barns lösningsmetoder Fokus i detta kapitel är hur barn följer en inlärningsväg från 2 års ålder till klass 1 för att lära sig viktiga aspekter av siffror, relationer, och verksamhet. Vi betonar ständigt att det finns variation inom varje åldersgrupp i antal och begrepp som ett givet barn kan arbete. Som sammanfattas i kapitel 3, härrör mycket av denna variation från skillnader i möjligheter att lära sig och att öva på dessa kompetenser, och vi betonar hur viktigt det är att ge sådana möjligheter att lära för alla barn. Vi avslutar med en påminnelse om att det också finns variation inom a given individ vid en given tidpunkt i de strategier som barnet kommer att använda för en given typ av uppgift. Forskare genom åren har visat att barn strategianvändning präglas av variation både inom och mellan barn (t.ex. Siegler, 1988; Siegler och Jenkins, 1989; Siegler och Shrager, 1984). Även på samma problem, ett barn kan använda en strategi vid en tidpunkt i sessionen, och en annan strategi vid en annan punkt. När barn får skicklighet, de gradvis gå till mer mogna och effektiva strategier, snarare än att göra så på en gång. Variabiliteten i sig anses vara en viktig motor av kognitiv förändring. På samma sätt, som diskuterats ovan, kan noggrannheten variera med ansträngning, särskilt med att räkna.Variabiliteten i användningen av strategier inom eller över barn kan ge viktiga möjligheter att diskutera olika metoder och utvidga förståelsen för alla deltagare. Varianten