What does deep procedural knowledge look like? Inspiration for this enhanced view of procedural knowledge can be found in research from the 1980s and early 1990s (e.g., Davis, 1983; Ohlsson & Rees, 1991; VanLehn, 1990). For example, VanLehn proposed that a student can have teleological understanding of a proce- dure, meaning knowledge of its design or justification for its use. Similarly, Davis writes of knowledge of procedures that might include such things as the order of steps, the goals and subgoals of steps, the environment or type of situation in which the procedure is used, the constraints imposed upon the procedure by the envi- ronment or situation, and any heuristics or common sense knowledge that are inherent in the environment or situation. Both of these examples illustrate proce- dural knowledge that is rich in relationships. My own work on the development of procedural flexibility provides a more concrete and recent example (Star, 2000, 2002a, 2001/2002b; Star & Seifert, in press). When students use formal methods to solve linear equations in algebra, they have available a very limited set of actions: adding to or subtracting from both sides, combining like terms, distributing or factoring, and multiplying or dividing both sides. Yet despite that limitation, there is a wide array of problem types. Skilled equa- tion solvers have the ability to use the equation-solving actions flexibly, so that a maximally efficient solution can be generated for any problem type. I consider flex- ibility to be an indicator of deep procedural knowledge. Flexibility is a nontrivial and often overlooked competency. Consider three relatively simple (and superficially quite similar) linear equations: (a) 2(x + 1) + 3(x + 1) = 10; (b) 2(x + 1) + 3(x + 1) = 11; and (c) 2(x + 1) + 3(x + 2) = 10. Although each of these equations can be solved with the same sequence of steps (using a standard algorithm for solving linear equations), the most efficient strategy may not be the standard algorithm. Furthermore, what is meant by the most efficient strategy is quite nuanced. Is the most efficient strategy the one that is the quickest or easiest to do, the one with the fewest steps, the one that avoids the use of frac- tions, or the one that the solver likes the best? There are subtle interactions among the problem's characteristics, one's knowledge of procedures, and one's problem-solving goals that might lead a solver to implement a particular series of procedural actions. Someone with only superficial knowledge of procedures likely has no recourse but to use a standard technique, which may lead to less effi- cient solutions or even an inability to solve unfamiliar problems. But a more flex- ible solver-one with a deep knowledge of procedures-can navigate his or her way through this procedural domain, using techniques other than ones that are overpracticed, to produce solutions that best match problem conditions or solving goals. I consider this kind of flexible knowledge to be both procedural and deep. Flexibility is not well explained or even accounted for in typical definitions of conceptual and procedural knowledge. This content downloaded from 130.240.172.186 on Fri, 08 Jun 2018 09:54:34 UTC All use subject to http://about.jstor.org/terms 410 Reconceptualizing Procedural Knowledge THE IMPLICATIONS OF RECONCEPTUALIZING PROCEDURAL KNOWLEDGE Reconceptualizing procedural knowledge as described above has important implications for both research and practice. First and foremost, recognizing the exis- tence of deep procedural knowledge suggests the need for research on what it is, how it develops, and what its relationship is to other types of desired mathematical knowledge. Broadening the definition of procedural knowledge could bring proce- dures back onto the research agenda of mathematics educators-including those on both "sides" of the math wars. Second, accompanying these new avenues for research is a need to broaden current ways of studying and assessing procedural knowledge. Methods for assessing students' procedural knowledge are somewhat impoverished at present, with procedural knowledge often measured simply by what a student can or cannot do. Research methods can instead focus on how students can and cannot do and on the character of the knowledge they have (including its depth), which supports their ability to perform procedures. And third, deep proce- dural knowledge should be considered an instructional goal at all levels of schooling. If so, additional research would be needed to develop and evaluate instructional interventions and curricula that might achieve this goal, as well as to determine the kinds of content knowledge for teaching that could support the development of deep procedural knowledge. REFERENCES

Hur ser djup processuell kunskap ut? Inspiration för detta förbättrad syn på processuell kunskap finns i forskning från 1980-talet och tidigt 1990-talet (t.ex. Davis, 1983; Ohlsson & Rees, 1991; VanLehn, 1990). Till exempel, VanLehn föreslog att en student kan ha teleologisk förståelse för ett förfarande dure, vilket betyder kunskap om dess design eller motivering för dess användning. På samma sätt Davis skriver om kunskap om procedurer som kan inkludera saker som ordningen på steg, mål och delmål för steg, miljö eller typ av situation i som förfarandet används, de begränsningar som miljöförfarandet ålägger ronment eller situation, och all heuristik eller sunt förnuft som finns inneboende i miljön eller situationen. Båda dessa exempel illustrerar dural kunskap som är rik på relationer. Mitt eget arbete med att utveckla procedurflexibilitet ger en mer konkret och senaste exemplet (Star, 2000, 2002a, 2001 / 2002b; Star & Seifert, i Tryck). När elever använder formella metoder för att lösa linjära ekvationer i algebra, gör de det har tillgång till en mycket begränsad uppsättning åtgärder: lägga till eller dra från båda sidor, kombinera lika termer, distribuera eller factoring, och multiplicera eller dela båda sidor. Trots den begränsningen finns det ett brett utbud av problemtyper.Kvalificerad tionslösare har förmågan att använda ekvationslösningsåtgärderna flexibelt, så att a maximal effektiv lösning kan genereras för alla typer av problem. Jag anser flex- förmåga att vara en indikator på djup processuell kunskap. Flexibilitet är en icke-trivial och ofta förbises kompetens. Tänk på tre relativt enkla (och ytligt ganska lika) linjära ekvationer: (a) 2 (x + 1) + 3 (x + 1) = 10; (b) 2 (x + 1) + 3 (x + 1) = 11; och (c) 2 (x + 1) + 3 (x + 2) = 10. Även om var och en av dessa ekvationer kan lösas med samma sekvens av steg (med hjälp av en standardalgoritm för lösning av linjära ekvationer), kan den mest effektiva strategin inte vara standardalgoritmen. Dessutom, vad menas med det mest effektiva strategi är ganska nyanserad. Är den mest effektiva strategin den som är snabbast eller lättast att göra, den som har minst steg, den som undviker användningen av eller den som lösaren gillar bäst? Det finns subtila interaktioner bland problemets egenskaper, ens kunskap om procedurer och ens problemlösande mål som kan leda en lösare att implementera en viss serie proceduråtgärder.Någon med endast ytlig kunskap om förfaranden har sannolikt inget annat alternativ än att använda en standardteknik, vilket kan leda till mindre effektivitet kunskapslösningar eller till och med oförmåga att lösa okända problem. Men en mer flexibel ible solver-one med en djup kunskap om procedurer-kan navigera hans eller henne genom denna procedurdomän med andra tekniker än de som är överpraktiseras för att producera lösningar som bäst matchar problemförhållanden eller lösning mål. Jag anser att denna typ av flexibel kunskap är både procedurell och djup. Flexibilitet förklaras inte eller redovisas inte ens i typiska definitioner av konceptuell och procedurell kunskap. Detta innehåll laddades ner från 130.240.172.186 fre, 08 juni 2018 09:54:34 UTC All användning är föremål för http://about.jstor.org/terms 410 Reconceptualizing Procedural Knowledge IMPLIKATIONERNA AV ÅTERKOPPLING AV FÖRFARANDEKUNSKAP Reconceptualizing procedurell kunskap som beskrivs ovan har viktigt konsekvenser för både forskning och praxis. Först och främst att erkänna de befintliga djup processuell kunskap antyder behovet av forskning om vad det är, hur den utvecklas och vad dess relation är till andra typer av önskad matematik kunskap. Att utvidga definitionen av förfarandekunskap kan leda till tappar tillbaka på forskningsagendan hos matematikpedagoger - inklusive de på båda "sidorna" av matematikkriget.För det andra åtföljer dessa nya vägar för forskning är ett behov av att bredda nuvarande sätt att studera och bedöma förfaranden kunskap. Metoder för att bedöma elevernas processuella kunskaper är något fattig för närvarande, med procedurell kunskap ofta mätt helt enkelt av vad en student kan eller kan inte. Forskningsmetoder kan istället fokusera på hur studenter kan och kan inte göra och på karaktären av den kunskap de har (inklusive dess djup), vilket stöder deras förmåga att utföra procedurer. Och för det tredje, djupgående Dural kunskap bör betraktas som ett instruktionsmål på alla skolnivåer. I så fall skulle ytterligare forskning behövas för att utveckla och utvärdera instruktioner insatser och läroplaner som kan uppnå detta mål, samt att fastställa typer av innehållskunskap för undervisning som kan stödja utvecklingen av djup procedurell kunskap. REFERENSER